量子電腦之時間最佳化控制 (磷参雜在矽晶上的電子自旋當量子位元)

我在自由軟體上有極大的興趣，常常寫寫小程式，但最終的目標是實現量子計算。基本上量子電腦的計算速度絕對比傳統電腦還要慢非常多，例如用磷参雜在矽晶上的電子自旋當量子位元，它的操作速度頂多是幾十個 MHz, 跑傳統的程式碼非常慢，而且受限於物理系統，不大可能可以增加操作頻率。那為什麼世界各大先進國家還要花大把的鈔票研究它呢？量子電腦為什麼會開始發展有部分原因是歸功於 1994 年 Shor’s algorithm, 這是一個 quantum algorithm. 這個演算法主要是在說，使用量子電腦做質因數分解的時間複雜度不高，所以有機會快速破解目前採用的大部分公開金鑰密碼系統 (RSA, ElGamal). 美國國防部等等開始緊張啦，開始投資經費進去，這個物理的領域也發展起來。故在量子電腦內，執行非特別針對它設計的演算法效率是極差的，可能比數十年前的電腦還要差。量子電腦有應用的價值是，可以利用它量子的特性，設計出只有量子電腦可以跑的演算法，此時可以用這些演算法的時間複雜度較低來補償運作時脈低的問題 (演算法先決)。但很不幸的是，目前量子演算法也只有兩三種，分別是質因數分解，未排序資料庫搜尋和量子傅立葉轉換等。

若是量子電腦只能做上述幾樣事，那還真是無趣！我大概也不會做這一行了。除了以上幾種可行的應用外，當年偉大的費曼提出使用量子位元的量子態 superposition 特性來模擬量子物理系統。你我現在看到的所有東西，除了高能粒子以外，都可以用 Schrödinger 方程式來解釋。傳統上的電腦沒辦法模擬很大尺度的物理系統，目前只能做到很精準的模擬小分子化學動力，或者結構很漂亮有週期性的半導體之類。若是量子電腦可以被製造出來，有機會可以模擬 DNA 的動力學，藥物動力學，並精準的算出一切可能的結果，這才是我認為量子電腦可能的未來-模擬真實的量子系統。就我所知，有些搞藥物理論計算的，因為傳統電腦計算能力不足 (若真的要模擬量子力學，需要幾乎是天文數字的古典電腦之計算能力)，所以會在大部分的地方用古典牛頓力學，然後關鍵時刻再改用量子力學。其中在何時使用古典力學，何時使用量子力學，乃是各派自行拿捏的不傳之密了。但常常這樣算出來的東西又和實驗結果誤差很大，有時候可能運氣好點，算出來很準。

記得我碩一在台大修我老闆的量子資訊課時，有幾個台大資工的博士班學生來修這一堂課。大家可能聽到量子力學就嚇到，想說這是什們奇怪困難的玩意。其實不然，在量子資訊的範疇內所用到的數學技巧只有線性代數 (矩陣對角化、矩陣加減乘除)。是的，就是工科所需學的線性代數之難度。物理圖像也很簡單！所有的量子態都是 vector, 而你若要量測某個觀測量，通常你會用一個 matrix 來當做量測的 operator, 可能量測到的結果就是其 matrix 對應的 eigenvalue. 量子力學最大的精義乃為你若真的量測到某個 eigenvalue, 你系統就會被破壞到其相對應的 eigenvector. 如果要做量子電腦演算法的資工或電機人，要懂得數學技巧大約只有線性代數，物理概念也不會超出我提到的那些太遠。最近在念 paper, 很多不錯的 paper 都是由資工或電機人寫的。有本教科書不錯，是專門給要做量子資訊的人念的，而且它淺顯易懂，非物理系的都可以入手。Quantum Computation and Quantum Information by Michael A. Nielsen and Isaa L. Chuang, Cambridge. 若是各位對量子資訊有興趣的話，歡迎來信討論。

這個領域除了量子計算外，還包含量子加密通訊 (Quantum cryptography or quantum key distribution) ，量子傳輸 (Quantum teleportation)。這兩個主題都和量子糾纏 (Quantum entanglement) 相關。前者討論的範疇是如何用量子通道來傳遞加密用的金鑰，透過量子力學被量測後會破壞其量子態的特性來避免被竊聽。理論上證明是無法破解而且安全的，並且若有人竊聽的話，可以被偵測出來。目前這樣的技術已經有商業化產品出現，主要是透過光子的糾纏來傳遞 key. 後者量子傳輸是我最感興趣的議題之一。小時候大家都很迷星艦奇航記-銀河飛龍吧！

宇宙，人類的終極邊疆。這裡敘述的是星艦企業號的旅程，它的任務，是為了要繼續探索這全然未知的新世界，尋找新生命和新文明，勇敢地航向前人所未至的領域。

它伴隨著多少年輕人走過那青澀時光，也讓很多小孩對於科學有股憧憬，進而踏入研究的學術殿堂。影集內有個瞬間移動的裝置，該裝置可以特過光波將人員瞬間從企業號傳送到星球上或者其它艦艇。是的！這樣技術在理論上可行的。量子力學告訴我們不可能一模一樣地複製一個量子態，但是量子力學告訴我們可以傳送一個量子態到其它地方。目前實驗上的進度已經可以傳遞一個電子的量子態到其它地方。等到哪一天可以傳遞很大物質的量子態時，就是人類可以瞬間移動的時候。這裡的 Quantum teleportation 沒有傳遞物質或者能量，它是把物質的量子態傳遞到另外一個一樣的物質上，讓它有和原先被傳送物質一樣的量子態。此時原先被傳送物質的量子態會被摧毀。

前幾天和阿怪聊到量子傳輸，他是知名的詞曲創作家兼音樂製作人，作紅了不少歌星，如張惠妹，范逸臣等等，並寫過不少膾炙人口的歌 (張惠妹 – 牽手，三天三夜; 范逸臣 -  I BELIEVE，解釋我)。鬼靈精怪的他馬上回應他小時候看銀河飛龍就想過這樣的問題！到底被傳輸的是靈魂還是肉體？抑或兩者都不是？電影 – 頂尖對決 (The Prestige) 裡面，Robert Angier（由 Hugh Jackman 飾）和 Alfred Borden（由 Christian Bale 飾）兩個敵對魔術師，兩人因極度對立而展開長達一生的對決，狂熱、欺騙與忌妒讓雙方企圖不計代價的凌駕另一方。Robert Angier 為了高過 Alfred Borden 的移形換影術詭計，不斷地研究新的技術，最後發現可以利用特司拉 (Tesla) 的電流複製自己到另外一個地方。他利用這樣的技術來實現移形換影術詭計 – 透過自殺，只留下複製出來的自己在舞台的另一端。他不知 Alfred Borden 其實是用雙胞胎弟弟來達成移形換影術。那電影中傳遞的是甚們呢？很顯然出現在另外一個地方的 Robert Angier 和原來的是不同人，也因為同時兩個人存在，所以也顯然不是靈魂。可惜導演沒有請教量子資訊專家電影是否合理。量子力學的幾個基本原理告訴我們，我們只能移動一個量子態到其他地方，而不能複製一個量子態到其他地方。這是有名的 no cloning theorem（見 wiki ）。我先前陳述了在量子傳輸中被傳遞的是量子態，而非物質！顯而易見的，量子態乃是描述你我身體內各個電子、質子和中子如何排列，動量或者位置的一種資訊（或許這裡講動量或位置不精確，但為了方便比喻起見，我把抽象的量子態如此比喻），也就是量子傳輸所傳遞的乃是量子態的資訊，而不是實體。所以要在目標地點準備相同數量的電子、質子和中子等等，然後把這些資訊傳遞到目標的那些物質。那原來那些質量呢？不可複製原理告訴我們絕對不是原來那個人，而量子力學也告訴我們原來那些物質的量子態將會被抹除，形成一個不可預測的狀態，或許世俗來說是灰燼吧！在這樣的框架下，似乎就隱含了所傳遞的資訊 – 量子態不具有實體，我覺得或許那就是靈魂！量子傳輸是把靈魂傳遞到另外一地，不傳遞質量，而那些資訊 – 靈魂是沒有質量，所以當然可以用光速傳遞，不違反相對論 – 有質量的物體只能接近光速傳輸。不過阿怪還是覺得傳輸後不能保證那是原來的我，搞不好是為了符合量子力學，原來那個人被物理所殺，變成灰燼，然後到目的地的人不過是全新的我。

這篇文章是我碩士兩年研究的題目。前幾天收到碩班時老闆的來電，文章被 Physical Review A 的 Rapid Communications 收錄。Physical Review 有分為 A, B, C, D and E 五大類，加上一個不分類的 Physical Review Letter. Letter, 顧名思義，是在極短的篇幅四頁內要寫完研究內容，主要是讓研究學者可以很快的把非常重要的基礎物理發現傳遞到世界各地，它是不分類的，impact factor 非常高。通常會發到 Physical Review Letter 的文章都會再發到 Physical Review A 到 E 裡面的期刊，做更詳細的解說。若是文章沒有重要到可以發在 Physical Review Letter, 但是又比 PRA~E 期刊還重要一些，那們就會選擇刊登在分們別類的 Rapid Communications 來發行。這些期刊是由美國物理學會 (American Physical Society) 所發行，為物理領域中頗負盛名且具權威性的期刊。

其中 Physical Review A 收錄的範疇為 Atomic, molecular, and optical physics; Physical Review B 收錄的範疇為 Condensed matter and materials physics; Physical Review C 收錄的範疇為 Nuclear physics; Physical Review D 收錄的範疇為 Particles, fields, gravitation, and cosmology; Physical Review E 收錄的範疇為 Statistical, nonlinear, and soft matter physics.

量子電腦也和傳統電腦一樣，有所謂的 universal gate, 也就是只要有這幾樣邏輯閘就可分解出所有不同的計算。傳統電腦中的 universal gate 是 NAND gate and NOR gate, 而在量子電腦中的為 Hadamard gate (H), phase rotation gate, 和 controlled NOT gate. 在我們的文章內，我們討論如何找到時間最佳化的 controlled NOT gate, 並討論在有雜訊等等情況下，此邏輯閘是否還能正常工作。以下附上收錄在期刊上的英文摘要，連結和 PDF 檔。

D.-B. Tsai, P.-W. Chen, and H.-S. Goan, “Optimal control of the silicon-based donor-electron-spin quantum computing” , Physical Review A, Vol. 79 (Rapid Communications), 060306 (2009). [PDF][Link]

**英文摘要
**We demonstrate how gradient ascent pulse engineering (GRAPE) optimal control methods can be implemented on donor electron spin qubits in Si semiconductors with an architecture complementary to the original Kane’s proposal. We focus on the high-fidelity controlled-NOT (CNOT) gate and explicitly find its digitized control sequences by optimizing its fidelity using the effective, reduced donor electron spin Hamiltonian with external controls over the hyperfine A and exchange J interactions. We then simulate the CNOT-gate control sequence with the full spin Hamiltonian and find that it has an error of about $10^{-6}$, below the error threshold required for fault-tolerant quantum computation. This high-fidelity CNOT gate operation time of 100ns is about 3 times faster than 297ns of the proposed global control scheme. It also relaxes significantly the stringent distance constraint of two neighboring donor atoms of 10-20 nm as reported in the original Kane’s proposal to about 30nm in which surface A and J gates may be built with current fabrication technology. The effects of the control voltage fluctuations, the dipole-dipole interaction and the electron spin decoherence on the CNOT gate fidelity are also discussed.